计算机视觉教程之直方图均衡化原理
1 点算子
点算子是两个像素灰度值间的映射关系，属于像素的逐点运算，相邻像素不参与运算。点算子是最简单的图像处理手段，如：亮度调整、对比度调整、颜色变换、直方图均衡化等等。
2 线性灰度变换
线性灰度变换表达为：
其中$r_k$、$s_k$分别为输入、输出点像素灰度值。
当$a>1$时，输出图像像素灰度范围扩大，图像对比度增强，当$a<1$时反之。这是因为<font color=#F00>**人眼不易区分相近的灰度值**</font>，因此若图像灰度值范围较小，观感上细节不够清晰。当$a=1$、$b\ne0$时，点算子使图像灰度整体上移或下移，即整体变亮或变暗。
3 直方图均衡化
下图再次给出了关于图像对比度的例子
直方图均衡化是以累计分布函数为核心，将原始图像灰度直方图从比较集中的某个灰度区间，非线性地映射为在全部灰度范围内的较均匀分布，从而增强对比度。
下面阐述直方图均衡化的数学原理。首先作原始图像灰度的概率直方图如图
设输入像素灰度值为$r_k$，累计分布函数为
$$C\left( r_k \right) =\frac{1}{n}\sum_{i=0}^k{n_i}$$
其中$n_i$为图像中灰度值为$r_i$的像素频数，$n$为图像像素总数。设输出像素灰度值为$s_k$，像素范围为$s_{min}-s_{max}$。期望输出灰度直方图是均匀分布，即
$$P\left( s \right) =\frac{1}{s_{\max}-s_{\min}}\,\, s_{\min}\leqslant s\leqslant s_{\max}$$
令$C\left( s_k \right) =C\left( r_k \right)$，即得
$$\left( C\left( r_k \right) _{\max}-C\left( r_k \right) _{\min} \right) \frac{s_k-s_{\min}}{s_{\max}-s_{\min}}+C\left( r_k \right) _{\min}=C\left( r_k \right) \\\Rightarrow \,\, \frac{s_k-s_{\min}}{s_{\max}-s_{\min}}=\frac{C\left( r_k \right) -C\left( r_k \right) _{\min}}{C\left( r_k \right) _{\max}-C\left( r_k \right) _{\min}}\\\Rightarrow \,\, \frac{s_k-s_{\min}}{s_{\max}-s_{\min}}=C'\left( r_k \right)$$
所以最终直方图均衡化的点算子为
$$s_k=\left( s_{\max}-s_{\min} \right) C'\left( r_k \right) +s_{\min}=T\left( r_k \right)$$
# 4 代码实战
按照前文的原理编写累积分布函数计算公式，以及均衡化算子
```python
# 计算累计分布函数
def C(rk):
# 读取图片灰度直方图
# bins为直方图直方柱的取值向量
# hist为bins各取值区间上的频数取值
hist, bins = np.histogram(rk, 256, [0, 256])
# 计算累计分布函数
return hist.cumsum()
```
```python
# 计算灰度均衡化映射
def T(rk):
cdf = C(rk)
# 均衡化
cdf = (cdf - cdf.min()) * (255 - 0) / (cdf.max() - cdf.min()) + 0
return cdf.astype('uint8')
```
<font size=4 color=#000>均衡化时直接调用函数即可，下面给出完整代码
```python
import numpy as np
import cv2 as cv
from matplotlib import pyplot as plt
# 计算累计分布函数
def C(rk):
# 读取图片灰度直方图
# bins为直方图直方柱的取值向量
# hist为bins各取值区间上的频数取值
hist, bins = np.histogram(rk, 256, [0, 256])
# 计算累计分布函数
return hist.cumsum()
# 计算灰度均衡化映射
def T(rk):
cdf = C(rk)
# 均衡化
cdf = (cdf - cdf.min()) * (255 - 0) / (cdf.max() - cdf.min()) + 0
return cdf.astype('uint8')
# 读取图片
img = cv.imread('1.png', 0)
# 将二维数字图像矩阵转变为一维向量
rk = img.flatten()
# 原始图像灰度直方图
plt.hist(rk, 256, [0, 255], color = 'r')
cv.imshow("原图像",img)
# 直方图均衡化
imgDst = T(rk)[img]
cv.imshow("直方图均衡化后的图像",imgDst)
plt.hist(imgDst.flatten(), 256, [0, 255], color = 'b')
plt.show()
```
看看效果：
均衡化前：
均衡化后：
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